جبر مدرج دیفرانسیلی

در ریاضیات یک جبر مدرج دیفرانسیلی ساختاری در جبر مجرد است که افزون بر جبر در توپولوژی و نظریه های کوهمولوژی هم کاربرد دارد.

تعریف

یک جبر مدرج دیفرانسیلی، عبارت است از یک جبر مدرج $A$ مجهز به یک نگاشت $d:A\to A$ از درجه ۱ یا ۱- است که شرایط زیر را ارضا می کند:

۱) $d\circ d=0$ به زبان دیگر، $d$ یک ساختار کمپلکس زنجیری یا کوکمپلکس زنجیری به $A$ می دهد.

۲) اگر $\omega \in A$ عنصری ازدرجه $deg(\omega )=n$ باشد، آنگاه برای هر $\eta \in A$ داریم: $d(\omega .\eta )=(d\omega ).\eta +(-1)^{n}\omega .(d\eta )$

به دیگر سخن، $d$ قانون لایبنیتس مدرج را ارج مینهد.

نمونه ها

• هر جبر تانسوری به گونه طبیعی، یک جبر مدرج دیفرانسیلی است.
• فرمهای دیفرانسیلی روی یک خمینه به همراه مشتق خارجی (در نقش $d$)

همچنین اگر $A$ یک جبر مدرج دیفرانسیلی باشد، همولوژی $H_{*}(A)=ker(d)/Im(d)$ خود یک جبر مدرج است.

منابع

• A. Langer and T. Zink , De Rham- Witt cohomology for a proper and smooth morphism